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Las matemáticas proporcionan
herramientas indispensables para analizar los fenómenos físicos que suceden en
la naturaleza. Este libro introduce algunas de esas herramientas. En
particular, el lector podrá aprender las propiedades básicas de los números
complejos y sus aplicaciones en el área de las funciones y el cálculo. Teniendo
como base el análisis complejo y otras técnicas relacionadas, el lector podrá
estudiar las funciones matemáticas a través de las series de potencia y las
series de Fourier, así como resolver algunas ecuaciones diferenciales mediante
las transformadas integrales. Adicionalmente, en este libro el lector
encontrará un análisis teórico formal —–pero adaptado a estudiantes de
ingeniería—– que incluye talleres, preconceptos y ejemplos, así como ejercicios
aplicados a los campos de la ingeniería y la física, que incluyen algunas aplicaciones
numéricas y ejercicios retadores. Incluso, el docente que dicte un curso
estándar de Matemáticas Especiales también podrá encontrar en este texto
distintas propuestas para dictar o complementar dicho curso. Anímese a aprender
algunas de las maravillosas aplicaciones de las matemáticas en la ingeniería y
la vida cotidiana.
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1. El álgebra de los números complejos                                            7
1.1. Conocimientos previos sobre números reales . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Operaciones entre números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Representación gráfica y forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Ecuaciones algebraicas y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Funciones en el plano complejo                                                                   31
2.1. Conocimientos previos sobre funciones en el campo de los reales . . . 31
2.2. Funciones sobre la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Funciones en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Funciones univaluadas y multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Derivación de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Integración sobre el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1. Integrales sobre caminos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.2. Integrales a lo largo de caminos cerrados . . . . . . . . . . . . 46
2.7. Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.2. La integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Series de potencia                                                                           63
3.1. Conceptos previos sobre series de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Secuencias o sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1. Definición y notacion de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. Definición de una serie de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3. La serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.4. La serie binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. La serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4. El teorema del residuo                                                             95
4.1. Conceptos previos sobre residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3. El teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4. Aplicaciones del teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.1. Integrales de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.2. Integrales con término de la forma eiax . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.3. Valor principal de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.4. Integral trigonometrica sobre crculo unitario . . . . . . . . . 111
4.4.5. Integrales de funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . 113
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5. Series de Fourier                                                                           123
5.1. Conceptos previos sobre series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2. Introducción a las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.3. Función periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1. Descomposición como senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.2. Descomposición como exponenciales complejas . . . . . . . . 133
5.4. Propiedades de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.1. Relaciones entre los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.2. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4.3. Relación de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6. Funciones especiales y el teorema de convolución   157
6.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2.1. Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2.2. La función Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.3. La función escalon unitario o Heaviside . . . . . . . . . . . . 165
6.2.4. La función gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.5. La función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3. La convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7. La transformada de Laplace                                         183
7.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2. La transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4. Inversión de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.1. Método por inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.2. La integral de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5. Solución de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8. La transformada de Fourier                                          217
8.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2. Definición de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.3. Propiedades de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.4. La relación de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5. Solución a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.6.1. Solución a funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.6.2. Funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.6.3. Procesamiento de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
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